若三角形的三边为a,b,c,且满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,试说明该三角形为等边三角形.
题目
若三角形的三边为a,b,c,且满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,试说明该三角形为等边三角形.
答案
a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2左右两边都×2整理得:2a4+2b4+2c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2,
写成完全平方的形式为:(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2=0,
∵a,b,c分别为三角形的三边,
∴a,b,c具有非负性,
∴a2-b2=0,b2-c2=0,c2-a2=0
∴a2=b2,b2=c2,c2=a2
∴解得a=b=c,
∴该三角形为等边三角形.
举一反三
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