1、已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心.求证：|OP|·|OQ|为定值

题目

1、已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心.求证：|OP|·|OQ|为定值
2、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数.
2题尽量用参数方程

答案

椭圆的参数方程为
x=acosβ,y=bsinβ
B1(0,b),B2(0,-b),M(acosβ,bsinβ)
B1M:y-b=b(1-sinβ)x/acosβ与X轴交点为
P（-acosβ/(1-sinβ),0）
同理可得：
Q (-acosβ/(1+sinβ),0)
|OP|·|OQ|=|acosβ/(1-sinβ)|·|acosβ/(1+sinβ)|
=a²
2）等轴双曲线的参数方程为
x=a·secβ,y=a·tanβ
等轴双曲线上任意一点P（a·secβ,a·tanβ）
到两条渐近线
x±y=0
的距离分别为D1=|a·secβ,a+tanβ|/√2
D2==|a·secβ,a-tanβ|/√2
D1·D2=a²/2