已知a>0且a不等于1,f(log a x)=[a/(a^2 -1)]/(x-1/x)10分 求

题目

已知a>0且a不等于1,f(log a x)=[a/(a^2 -1)]/(x-1/x)10分 求
已知a>0且a不等于1,f(log a x)=[a/(a^2 -1)]/(x-1/x)10分
求f(x)的表达式和判断f(x)奇偶性与单调性

答案

f(log a x)=[a/(a^2 -1)]/(x-1/x)
令logax=t∈R,t≠0,那么x=a^t
f(t)=[a/(a^2-1)]/[a^t-a^(-t)]
∴f(x)=[a/(a^2-1)]/[a^x-a^(-x)] (x≠0)
f(-x)=[a/(a^2-1)]/[a^(-x)-a^x]=-f(x)
f(x)是奇函数
当a>1时,
x∈(0,+∞)时,a^x为增函数,-a^(-x)为增函数
分母a^x-a^(-x)为增函数,且为正值
∴1/[a^x-a^(-x)]为减函数
又 分子a/(a^2-1)>0
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数
∵f(x)为奇函数
∴f(x)在(-∞,0)上也是减函数
当0