指数是虚数有实际意义吗?

题目

指数是虚数有实际意义吗?
比如要证明欧拉公式 e^(i·θ)=cosθ+i·sinθ
它的证明是基于泰勒展开:
其中
e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+……
若把ix看成x则
e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+……
为什么泰勒公式对虚数也一样适用?
e^(i·θ) 这么写本身成立吗

答案

Taylor公式对复数成立从某种程度上说是定义出来的（但是要说明这个定义是合理的）.
从Taylor公式出发可以推出整个复分析,如果从复可微出发也可以推出Taylor公式,这个等你学过复分析之后就会明白了.