过抛物线y^2=4x的焦点F作弦AB,若|AF|=2|BF|,则弦AB所在的直线方程

题目

过抛物线y^2=4x的焦点F作弦AB,若|AF|=2|BF|,则弦AB所在的直线方程

答案

设弦AB所在的直线方程为：x=my+1,于是有：y^2-4my-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m.(1)y1y2=-4.(2)
又|AF|=2|BF|
由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1
所以：x1+1=2(x2+1)
∵x1=my1+1,x2=my2+1
∴my1+2=2(my2+2).(3)
联立（1）（3）,得：
y1=(8m²+2)/3m,y2=(4m²-2)/3m
将上式代入（2）式,得：
（8m²+2)(4m²-2)/9m²=-4
令m²=t,则有：(4t+1)(2t-1)=-9t
即：8t²+7t-1=0
t=1/8,t=-1(舍去）
所以m²=1/8,m=±√2/4
于是有：x=±√2/4y+1
所以弦AB所在的直线方程为：y=±2√2（x-1)