过抛物线y^2=4x的焦点F作弦AB,若|AF|=2|BF|,则弦AB所在的直线方程
题目
过抛物线y^2=4x的焦点F作弦AB,若|AF|=2|BF|,则弦AB所在的直线方程
答案
设弦AB所在的直线方程为:x=my+1,于是有:y^2-4my-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m.(1)y1y2=-4.(2)
又|AF|=2|BF|
由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1
所以:x1+1=2(x2+1)
∵x1=my1+1,x2=my2+1
∴my1+2=2(my2+2).(3)
联立(1)(3),得:
y1=(8m²+2)/3m,y2=(4m²-2)/3m
将上式代入(2)式,得:
(8m²+2)(4m²-2)/9m²=-4
令m²=t,则有:(4t+1)(2t-1)=-9t
即:8t²+7t-1=0
t=1/8,t=-1(舍去)
所以m²=1/8,m=±√2/4
于是有:x=±√2/4y+1
所以弦AB所在的直线方程为:y=±2√2(x-1)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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