已知f(x)=2ax-bx+lnx在x=-1,x=1/2处取得极值.(1)求a、b的值;(2)若对x∈[1/4,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
题目
已知f(x)=2ax-
+lnx在x=-1,x=
处取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对x∈[
,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=2ax-
+lnx,
∴f′(x)=2a+
+
.
∵f(x)在x=-1与x=
处取得极值,
∴f′(-1)=0,f′(
)=0,
即
解得
∴所求a、b的值分别为1、-1.
(2)由(1)得f′(x)=2-
+
=
(2x
2+x-1)=
(2x-1)(x+1).
∴当x∈[
,
]时,f′(x)<0;
当x∈[
,4]时,f′(x)>0.
∴f(
)是f(x)在[
,4]上的极小值.又∵只有一个极小值,
∴f(x)
min=f(
)=3-ln2.
∵f(x)>c恒成立,∴c<f(x)
min=3-ln2.
∴c的取值范围为c<3-ln2.
(1)先对函数f(x)进行求导,根据f'(-1)=0,f'(
)=0求出a,b的值.
(2)先将问题转化为求函数f(x)在[
,4]最小值的问题,只要c小于f(x)在[
,4]最小值即可满足条件.
将a,b的值代入f'(x),然后判断函数的单调性,进而可求最小值.
利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.
本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数的关系.导数是高考的热点问题,每年必考,要重视.
举一反三
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