已知函数f(x)=-cosx+cos(π/2-x)(1)若x属于R,求函数f(x)的最大值与最小值
题目
已知函数f(x)=-cosx+cos(π/2-x)(1)若x属于R,求函数f(x)的最大值与最小值
(2)若x属于(0,π/4),且sin2x=1/3,求f(x)的值
答案
解1:
f(x)=-cosx+cos(π/2-x)
f(x)=-cosx+sinx
f(x)=sinx-cosx
f(x)=(√2)[(√2/2)sinx-(√2/2)cosx]
f(x)=(√2)[cos(π/4)(√2/2)sinx-sin(π/4)cosx]
f(x)=(√2)sin(x-π/4)
因为:-1≤sin(x-π/4)≤1
所以:-√2≤(√2)sin(x-π/4)≤√2
即:-√2≤f(x)≤√2
所以:f(x)的最大值是√2,最小值是-√2.
解2:
因为:x∈(0,π/4),
所以:sinx<cosx
sinx-cosx<0
(sinx-cosx)^2=(cosx)^2-2sinxcosx+(cosx)^2=1-sin(2x)
由已知,有:sin(2x)=1/3,代入上式,有:
(sinx-cosx)^2=1-sin(2x)=1-1/3=2/3
即:sinx-cosx=±√(2/3)=±(√6)/3
因为:x∈(0,π/4),所以:sinx<cosx
sinx-cosx<0
因此:sinx-cosx=-(√6)/3
由解1,知:f(x)=sinx-cosx
所以:f(x)=-(√6)/3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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