过点P(-1,-2)的直线L分别交x轴和y轴的负半轴于A,B两点,当｜PA|X|PB|最小时,求直线L的方程

题目

过点P(-1,-2)的直线L分别交x轴和y轴的负半轴于A,B两点,当｜PA|X|PB|最小时,求直线L的方程

答案

设直线L为 (y+2)=k(x+1)
令y=0,则x=2/k-1,则A坐标为A(2/k-1,0)
令x=0,则y=k-2,则B坐标为B(0,k-2)
根据两点距离公式有
｜PA|*|PB|＝√(k^2+1)*√(4/k^2+4)=(2|k^2+1|)/|k|=2[-1/k+(-k)]大于等于4
当且仅当-k=-1/k,即k=-1时,｜PA|*|PB|取得最小值4
此时,直线L为(y-1)=-(x-2),即x+y-3=0