设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1 (1)求f(1/9); (2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围.
题目
设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足
f(xy)=f(x)+f(y),f()=1(1)求
f();
(2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围.
答案
(1)由已知,令x=y=
,则f(
)=f(
)+f(
)=2.
(2)∵f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<2=f(
),
又由函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数:得
解之得:x∈
(1−,1+).
(1)对题设条件中的恒等式进行赋值,即可求出f(
)的值;
(2)利用题设条件将f(x)+f(2-x)<2这为f[x(2-x)]<f(
),再利用函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数解不等式
奇偶性与单调性的综合.
本题考查抽象函数及其应用,考查了根据恒等式的形式以及要求的值灵活赋值求函数值的能力,以及利用函数的性质解不等式的能力,求解本题的关键是恰当赋值,求解第二问时恰当的变形是解题的关键,在根据单调性转化时要注意转化的等价,不要忘记定义域的限制条件.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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