已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（3，-1），n=（cosA，sinA）．若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B=_．

题目

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量

m

=（

3

，-1），

n

=（cosA，sinA）．若

m

⊥

n

，且acosB+bcosA=csinC，则角B=______．

答案

根据题意，

m

⊥

n

⇒

3

cosA−sinA＝0⇒A＝

π

3

，
由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，
又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
化简可得，sinC=sin²C，
则C=

π

2

，
则B＝

π

6

，
故答案为

π

6

．

由向量数量积的意义，有

m

⊥

n

⇒

3

cosA−sinA＝0，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinC  sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC=sin²C，可得C，由A、C的大小，可得答案．

本题考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式．

考点点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．