在自然数集N上定义一个函数y=f（x），已知f（1）+f（2）=5．当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时f（x+1）-f（x）=3． （1）求证：f（1），f（3），f（5），…，f

题目

在自然数集N上定义一个函数y=f（x），已知f（1）+f（2）=5．当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时f（x+1）-f（x）=3．
（1）求证：f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N₊）成等差数列．
（2）求f（x）的解析式．

答案

（1）由

f(1)+f(2)＝5 f(2)−f(1)＝1

，解得f（1）=2，f（2）=3．
所以f（2n+1）-f（2n-1）=[f（2n+1）-f（2n）]+[f（2n）-f（2n-1）]=3+1=4，
所以f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N₊）成等差数列，公差为4．
（2）当x为奇数时，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=

(x−1)•4

2

+2＝2x，
当x为偶数时，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=

1

2

•1+

x−2

2

•3+2＝2x−1
所以f（x）=

2x，x为奇数 2x−1，x为偶数

．

（1）利用条件建立方程组关系，利用f（1），f（3），f（5）的规律，结合等差数列的定义判断f（2n+1）-f（2n-1）是个常数即可．
（2）利用当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时f（x+1）-f（x）=3去，求出函数f（x）的解析式．

本题考点：等差关系的确定；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查抽象函数的应用，以及等差数列的定义和判断，综合性较强．