已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+ax(a属于R),在曲线f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线与直线y=x垂直.设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为α,求α的取值范围

题目

已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+ax(a属于R),在曲线f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线与直线y=x垂直.设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为α,求α的取值范围

答案

tanα=f'(x)=x^2-4x+a=(x-2)^2+a-4
此函数为抛物线函数,开口向上,只有当x=2时有最小值a-4
当x≠2时,都有两个地方对应的f'(x)相同,
即除x=2外,其余每个地方都有一个对应的位置切线斜率相同
根据题意可知
a-4=-1
a=3
f'(x)min=-1
tanα>=-1
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