用柯西不等式证明2/a+b +2/b+c +2/c+a大于9/a+b+c a.b.c为互不相等的正数

题目

用柯西不等式证明2/a+b +2/b+c +2/c+a大于9/a+b+c a.b.c为互不相等的正数

答案

柯西不等式的关键是构造平方,
故为证原不等式
[2/(a+b)]+[2/(b+c)]+[2/(a+c)]≥9/(a+b+c)
我们可等价变为
{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}≥9/(a+b+c)
(上下都除以2)
亦即求证
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】≥9
而又:
a+b+c=(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2
故
由柯西不等式
(a+b+c)【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
=[(a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2]【{1/[(a+b)/2]}+{1/[(b+c)/2]}+{1/[(a+c)/2]}】
≥[(1+1+1)]^2
=9
故原不等式成立