设f(x）的定义域在实数集R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数ab都有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f（x)

题目

设f(x）的定义域在实数集R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数ab都有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f（x)
2 ) 函数f(x)(x属于（-1，1））满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x)

答案

因为对任意实数ab都有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),假设,a=0,则,f(-b)=1-b(-b+1),f(b)=b^2+b+1,所以f(x)=x^2+x+1.
(2)因为,2f(x)-f(-x)=lg(x+1）,所以,f(x)是由对数函数加或减组成的函数.设f(x)=lgM,2f(x)-f(-x)=lg(x+1）相当于2lgM-lg(-M)=lg(x+1)相当于lgM^2-lg(-M)=lg(x+1)相当于lg(M^2/-M)=lg(x+1)相当于lg(-M)=lg(x+1)又因为,lgM=lg(-M)+lg(-1),所以lgM=lg(x+1)+lg(-1)=lg(-x-1)