在数列{an}中Sn=1+kan(k不=0,1）：求证：{an}是等比数列 求通项公式an

题目

在数列{an}中Sn=1+kan(k不=0,1）：求证：{an}是等比数列 求通项公式an

答案

证明：
由题,则S(n+1)=1+ka(n+1)
S(n+1)-S(n)=a(n+1)=ka(n+1)-kan
整理后得：a(n+1)/an=k/(k-1)
因为k≠0,1
故an为公比q=k/(k-1)的等比数列,得证.
令n=1,则由题,S1=a1=1+ka1 ===> a1=1/(1-k)
又因为证得an为公比q=k/(k-1)的等比数列,
所以an=a1(1-q^n)/1-q
=[1/1-k][1-(k/k-1)^n]/[1-k/(k-1)]
整理后得：
an=1-(k/k-1)^n