已知函数f（x）=3ωx+cos（ωx+π3）+cos（ωx-π3），x∈R，（其中ω＞0）． （1）求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）的最小正周期为π2，则当x∈[0，π2]时，求f（x）

题目

已知函数f（x）=

3

ωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ωx-

π

3

），x∈R，（其中ω＞0）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小正周期为

π

2

，则当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的单调递减区间．

答案

（1）f(x)＝3sinωx+cosωx＝2sin(ωx+π6)，∵x∈R，∴f（x）的值域为[-2，2]，所以答案为[-2，2]．（2）∵f（x）的最小正周期为π2，∴2πω＝π2，即ω=4∴f(x)＝2sin(4x+π6)∵x∈[0，π2]，∴4x+π6∈[π6，136...

（1）首先求函数的表达式f(x)＝

3

sinωx+cosωx＝2sin(ωx+

π

6

)求值域，需要把三角函数化为一般形式，然后根据最大最小值直接求得值域．
（2）由函数f（x）的最小正周期以及上面解得的一般形式，可直接求出即ω=4，则函数的完整表达式求出来了，在根据三角函数的单调区间的求法，求出f（x）的单调递减区间．

本题考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评：此题主要考查三角函数周期值域问题的应用，其中涉及到求三角函数一般形式的求法．在学习中三角函数性质的记忆与理解是非常重要的，需要注意．