已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足AF=3FB,则弦AB的中点到准线的距离为(  ) A.83 B.43 C.2 D.1

已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足AF=3FB,则弦AB的中点到准线的距离为(  ) A.83 B.43 C.2 D.1

题目
已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足
AF
=3
FB
,则弦AB的中点到准线的距离为(  )
A.
8
3

B.
4
3

C. 2
D. 1
答案
设BF=m,由抛物线的定义知
AA1=3m,BB1=m,
∴△ABC中,AC=2m,AB=4m,kAB=
3

直线AB方程为y=
3
(x-1),
与抛物线方程联立消y得3x2-10x+3=0,
所以AB中点到准线距离为
x1+x2
2
+1=
5
3
+1=
8
3

故选A.
设BF=m,由抛物线的定义知AA1和BB1,进而可推断出AC和AB,及直线AB的斜率,则直线AB的方程可得,与抛物线方程联立消去y,进而跟韦达定理求得x1+x2的值,则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离.

抛物线的简单性质.

本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题.常需要利用抛物线的定义来解决.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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