设函数f(x)＝cos(3x+φ)(0＜φ＜π)．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=_．

题目

设函数f(x)＝cos(

3

x+φ)(0＜φ＜π)．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=______．

答案

f′(x)＝−

3

sin(

3

x+φ)，
则f（x）+f′（x）=cos(

3

x+φ)−

3

sin(

3

x+φ)＝2sin(

π

6

−

3

x−φ)，为奇函数，
令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数
g（0）=0⇒2sin（

π

6

−φ）=0
∵0＜φ＜π
∴φ=

π

6

．
故答案为：

π

6

对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，f(x)+f′(x)＝2sin(

π

6

−

3

x−φ)，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值

本题考点：余弦函数的奇偶性；导数的运算．

考点点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易．