已知函数f(x)=［log以4为底（4的x次方+1的对数）］+kx(k属于R)是偶函数,求K的值,

题目

已知函数f(x)=［log以4为底（4的x次方+1的对数）］+kx(k属于R)是偶函数,求K的值,
求K的值,若方程f(x)-m=0有解,求m的取值范围

答案

f(x)=log4（4^x+1）+kx
f(-x)=log4（4^（-x）+1）-kx
偶函数,所以
f(x)=f(-x)
即 log4(4^x+1)/[4^(-x)+1]=-2kx
log4(4^x*(4^x+1))/(4^x+1)=-2kx
即（2k+1）x=0
（x属于R）
所以
2k=-1
k=-1/2.
因为方程f(x)-m=0有解
m=log4(4^x+1)-x/2
=log4(4^x+1)-log4[4^(x/2)]
=log4[(4^x+1)/4^(x/2)]
而 (4^x+1)/4^(x/2)
=4^x/4^(x/2)+1/4^(x/2)
=4^(x/2)+1/4^(x/2) ,
因为 4^(x/2)〉0
所以采用均值不等式有 4^(x/2)+1/4^(x/2)>=2√[4^(x/2)*1/4^(x/2)]=2
当4^(x/2)=1/4^(x/2)时,[4^(x/2)]^2=1 4^x=1
即x=0
所以m≥log4(2)=1/2,
即m≥1/2 .