△ABC的三边长分别是3、4、5,P为△所在平面外一点,它到三边的距离都等于2,则P到平面α的距离为?

题目

△ABC的三边长分别是3、4、5,P为△所在平面外一点,它到三边的距离都等于2,则P到平面α的距离为?

答案

作PO⊥平面α于O,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.
则OD=OE=OF （三角形全等）
∵AB⊥PD,AB⊥PO,PD,PO相交.
∴AB⊥面POD,
∴AB⊥OD,
同理BC⊥OE,AC⊥OF.
即O是RT△ABC的内切圆圆心.D,E,F是切点.半径r=OD=OE=OF
AF=AD=AB-BD=4-r
CF=CE=CB-BE=3-r
AC=AF+CF=4-r+3-r=5
r=OD=OE=OF=1
PO=√3