已知x1,x2是关于x的一元二次方程x+(3a-1)x+2a-1的两个实数根,使(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立,求实数a的所有可能值

题目

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x+(3a-1)x+2a-1的两个实数根,使(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立,求实数a的所有可能值

答案

∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根,
∴△≥0,即（3a-1）2-4（2a2-1）=a2-6a+5≥0
所以a≥5或a≤1．…（3分）
∴x1+x2=-（3a-1）,x1•x2=2a2-1,
∵（3x1-x2）（x1-3x2）=-80,即3（x12+x22）-10x1x2=-80,
∴3（x1+x2）2-16x1x2=-80,
∴3（3a-1）2-16（2a2-1）=-80,
整理得,5a2+18a-99=0,
∴（5a+33）（a-3）=0,解得a=3或a=-五分之三十三
当a=3时,△=9-6×3+5=-4＜0,故舍去,
当a=-五分之三十三时,△＞0,∴a=-五分之三十三