实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求: (1)点(a,b)对应的区域的面积; (2)b−2a−1的取值范围; ( 3)(a-1)2+
题目
实系数一元二次方程x
2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:
(1)点(a,b)对应的区域的面积;
(2)
的取值范围;
( 3)(a-1)
2+(b-2)
2的取值范围.
答案
(1)设f(x)=x
2+ax+2b,
∵方程x
2+ax+2b=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,
∴可得
,即
.
作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域,
得到△ABC及其内部,即如图所示的阴影部分(不含边界).
其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),
∴
S△ABC=|BC|×yA=×1×1=,即为点(a,b)对应的区域的面积.
(2)设点E(a,b)为区域内的任意一点,
则k=
,表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜率
∵
kAD==,kCD==1,结合图形可知:
kAD<<kCD,
∴
的取值范围是
(,1);
(3)设点E(a,b)为区域内的任意一点,
可得|DE|
2=(a-1)
2+(b-2)
2,表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E,可得当E在C点时满足|DE|
2=(-1-1)
2+(0-2)
2=8,
在当E在A点满足|DE|
2=(-3-1)
2+(1-2)
2=17.
由此可得(a-1)
2+(b-2)
2取值范围为:(8,17).
(1)设f(x)=x
2+ax+2b,根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f(0)>0、f(1)<0且f(2)>0.由此建立关于a、b的二元一次不等式组,在aob坐标系内作出相对应的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,利用三角形的面积公式即可算出该区域的面积;
(2)设点E(a,b)为区域内的任意一点,根据直线的斜率公式可得k=
表示D、E连线的斜率,将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化,即可算出k=
的取值范围;
(3)设点E(a,b)为区域内的任意一点,由两点的距离公式可得(a-1)
2+(b-2)
2表示点D、E之间距离的平方,再运动点E并观察D、E的距离变化,即可算出(a-1)
2+(b-2)
2的取值范围.
简单线性规划的应用;函数零点的判定定理;直线的斜率;两点间的距离公式.
本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件,求参数a、b满足的不等式组,并依此求关于a、b式子的取值范围.着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识,属于中档题.
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