光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径为R，固定在竖直平面内．AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将AB两环从图示位置静止释放，A环离开底部2R．不考

题目

光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径为R，固定在竖直平面内．AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将AB两环从图示位置静止释放，A环离开底部2R．不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求：

（1）AB两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力．
（2）A环到达最低点时，两环速度大小．
（3）若将杆换成长2

2

R，A环仍从离开底部2R处静止释放，经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度．

答案

（1）对整体分析，自由落体，加速度g，以A为研究对象，A作自由落体则杆对A一定没有作用力．即F=0
故AB两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力为零．
（2）AB都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等，即V_A=V_B
对整体依机械能守恒定律，有：mg•2R+mg•

5

2

R=

1

2

•2mv2
解得
v=

9 2 gR

故A环到达最低点时，两环速度大小均为

9 2 gR

．
（3）由于杆长超过了半圆直径，故最后A环在下，如图；
设A再次上升后，位置比原来高h，如下图所示．
由机械能守恒，有：-mgh+mg(2

2

R-2R-h)=0
解得h=(

2

-1)R，故A离开底部(

2

+1)R
故若将杆换成长2

2

R，A环仍从离开底部2R处静止释放，经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度为(

2

+1)R．

（1）两个环以及连杆整体自由下落，处于完全失重状态，故杆上弹力为零；
（2）A环到达最低点时，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等；根据几何关系找到B环的位置，然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）由于杆长超过了半圆直径，故A环一直在下方，速度为零时，结合几何关系并根据机械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．

本题考点：机械能守恒定律；自由落体运动．

考点点评：本题关键是根据几何关系多次得到环的具体位置，然后根据机械能守恒定律列方程求解即可．