已知函数f(x)=x^2+2x,若k是奇数,求证：方程f(x)=2k没有理想根

题目

已知函数f(x)=x^2+2x,若k是奇数,求证：方程f(x)=2k没有理想根

答案

用反证法
先假设有有理根为m/n,（其中m,n互为质数）
则(m/n)^2+2m/n=2k
所以m^2+2mn-2kn^2=0
即m^2=2kn^2-2mn,则m是偶数,
设m=2p,则kn^2=2p^2+2pn,所以kn^2是偶数,
又因为k是奇数,奇数与偶数相乘才为偶数所以n为偶数,
此时m和n的最大公约数就不是1了,这与假设m,n互为质数相矛盾,
所以方程f(x)=2k没有有理根