已知一元二次方程ax²-√2bx+c=0的两个根满足 |x1-x2| =√2,且a,b,c分别是三角形ABC的角A,角B,角C的对边.证明方程的两个根都是正根,若a＝c,求∠B的∠度数.

题目

已知一元二次方程ax²-√2bx+c=0的两个根满足 |x1-x2| =√2,且a,b,c分别是三角形ABC的角A,角B,角C的对边.证明方程的两个根都是正根,若a＝c,求∠B的∠度数.

答案

(1）△=2b^2-4ac,
|x1-x2|=（√△）/|a|=√2,
∴△=2a^2>0,又x1+x2=b(√2)/a>0,x1x2=c/a>0,
∴x1>0,且x2>0.
（2）若a=c,则b^2=3a^2,
∴cosB=(2a^2-b^2)/(2a^2)=-1/2.
∴B=120°.