在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： ①量得OA=3cm； ②把直尺的左边与抛物线的对称轴

题目

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：

①量得OA=3cm；
②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S_梯形EFGH=

1

6

答案

（1）直线x＝

3

2

；
（2）设抛物线的解析式为：y=ax（x-3），
当x＝

3

2

时，y＝−

9

4

a，即B(

3

2

，−

9

4

a)；
当x＝

9

2

时，y＝

27

4

a，即C(

9

2

，

27

4

a)，
依题意得：

27

4

a−(−

9

4

a)＝4.5，
解得：a＝

1

2

，
∴抛物线的解析式为：y＝

1

2

x2−

3

2

x；
（3）证明：过点E作ED⊥FG，垂足为D，
设E(x，

1

2

x2−

3

2

x)，
则F(x+3，

1

2

x2+

3

2

x)，
得：S_梯形EFGH=

3

2

(EH+FG)＝

3

2

•[(

1

2

x2−

3

2

x)+(

1

2

x2+

3

2

x)]＝

3

2

x2，
∵

1

6

(EF2−9)＝

1

6

×9x2＝

3

2

x2，
∴S_梯形EFGH=

1

6

(EF2−9)．