如果函数f(x)=-x²+2x的定义域为【m,n】,值域为【-3,1】,求(m-n)的绝对值的最小值.

题目

如果函数f(x)=-x²+2x的定义域为【m,n】,值域为【-3,1】,求(m-n)的绝对值的最小值.

答案

f(x)=-x²+2x＝-(x²-2x)=1-(x-1)²
值域为【-3,1】,即：1-(x-1)²∈[-3,1]
-3<=1-(x-1)²<=1
-1<=(x-1)²-1<=3
0<=(x-1)²<=4
-2<=x-1<=2
-1<=x<=3
x的定义域最大解集为[-1,3]!
但由于f(x)=最大值1时,x=1,故x=1必须包括在定义域内!
同时,f(x)=最小值-3时,x=-1或3,故x=-1或x=3至少有一个要包括在定义域内
定义域如：[-1,1]或[1,3]或[-1,2]或[-1,3]……均可!但[0,2],（-1,2]等则不可!
即m= -1时1≤n≤3,或-1≤m≤1时n=3,
|m-n|=n-m,显然最小为2,如m=-1,n=1或m=1,n=3时取得!最大值为4,m=-1,n=3时取得.
最终答案：2