直线y=kx+1与椭圆C:x2+y2/4=1交于A,B两点.若以AB为直径的圆过原点,求k的值

题目

直线y=kx+1与椭圆C:x2+y2/4=1交于A,B两点.若以AB为直径的圆过原点,求k的值

答案

y=kx+1代入x^2+y^2/4=1得
x^2+(kx+1)^2/4=1
即(k^2+4)x^2+2kx-3=0
设A(x1,kx1+1),B(x2,kx2+1)
则x1+x2=-2k/(k^2+4),x1*x2=-3/(k^2+4)
因为以AB为直径的圆过原点
所以∠AOB=π/2
即OA⊥OB
所以OA*OB=x1*x2+(kx1+1)*(kx2+1)
=(k^2+1)x1*x2+k(x1+x2)+1
=(k^2+1)*(-3)/(k^2+4)+k*(-2k)/(k^2+4)+1
=0
所以k^2=1/4
故k=±1/2
如果不懂,请Hi我,祝学习愉快!