在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知2sinA=3cosA．（1）若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值；（2）若a=3，求△ABC面积的最大值．

题目

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知

2

sinA=

3cosA

．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

答案

（1）由

2

sinA=

3cosA

两边平方得：
2sin²A=3cosA即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
解得：cosA=

1

2

，
而a²-c²=b²-mbc可以变形为

b2+c2-a2

2bc

=

m

2

，
即cosA=

m

2

=

1

2

，所以m=1．
（2）由（1）知cosA=

1

2

，则sinA=

3

2

．
又

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
所以bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，即bc≤a²．
故S_△ABC=

bc

2

sinA≤

a2

2

•

3

2

=

3 3

4

．

（1）把题设等式平方后利用同角三角函数基本关系整理成关于cosA，求得cosA的值．然后利用余弦定理求得m的值．
（2）由（1）中cosA，求得sinA，根据余弦定理求得a，b和c的不等式关系，进而利用三角形面积公式求得三角形面积的范围．

本题考点：余弦定理的应用．

考点点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是通过余弦定理找到三角形边角问题的联系，找到解决的途径．