怎么理解“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”例如y=x^3 请大侠结合例子讲下,讲的通,再加

题目

怎么理解“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”例如y=x^3 请大侠结合例子讲下,讲的通,再加

答案

由方程y=f(x)决定了另一个函数x=g(y),也就是所谓的f反函数是g
对于这个曲线上的任何一点(x0,y0),其局部增量分别为Δx和Δy,那么f'(x0)=lim_{Δx->0} Δy/Δx
而反函数x=g(y)对应的曲线是一样的,其局部增量也是Δx和Δy,只不过x和y的地位交换了一下,所以g'(y0)=lim_{Δy->0} Δx/Δy = lim_{Δy->0} 1/(Δy/Δx) = 1/f‘(x0)
这就是“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”的原因,可以简记成dx/dy=1/(dy/dx)
至于你要的例子,反函数x=y^{1/3},dx/dy=1/(dy/dx)=1/(3x^2),其实一般来讲到这步也够了,只不过形式上想用自变量y来表示这个导数,那么再把x^2写成y^{2/3},所以dx/dy=1/3*y^{-2/3}