如图,在Rt三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC延长线上任意一点,过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF,E、F分别为垂足.(1)求证:BE+CF=EF(2)若P为线段BC上的任
题目
如图,在Rt三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC延长线上任意一点,过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF,E、F分别为垂足.(1)求证:BE+CF=EF(2)若P为线段BC上的任一点,其他条件不变,试问:线段BE、CF、EF的长度之间是否存在某种确定的数量关系?请画出图形,并证明你的结论.
答案
图形请你自己画吧
证明:(1) 由过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF,E、F分别为垂足可知:∠BEA=∠AFC=90°
∵ ∠BAC=90°
∴ ∠CAF+∠EAB =180°-∠BAC =180°-90°=90°
又在直角三角形AEB中 ∠EBA+∠EAB=180°-∠BEA=90°
∴ ∠CAF=∠EBA
在△EBA 和 △ACF中,AB=AC(已知),∠BEA=∠AFC=90°,∠CAF=∠EBA
∴ △EBA ≌ △ACF
∴ BE = AF,EA=CF
∴ BE+CF=EA+AF =EF
(2) 若P点靠近B点,有CF-BE=EF;若P点靠近C点,有BE-CF=EF
现证明如下:由过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF,E、F分别为垂足知,∠BEA=∠AFC=90°
∵ ∠BAC=90°
.∴ ∠BAE + ∠FAC=90°
又 在直角三角形ABE中,∠EBA+∠BAE=90°
∴ ∠EBA = ∠FAC
在△EBA和△AFC中,AB=AC,∠BEA=∠AFC=90°,∠EBA = ∠FAC
∴ △EBA ≌ △AFC
∴ AE=CF,AF=BE
∴ CF-BE = AE -AF = EF
同理可证 BE-CF=EF
举一反三
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