已知函数f(x)=ax+x-2/x+1(a>1). (1)判定函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)证明:方程f(x)=0没有负数根.
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已知函数f(x)=ax+x-2/x+1(a>1). (1)判定函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)证明:方程f(x)=0没有负数根.
题目
已知函数f(x)=a
x
+
x-2
x+1
答案
(1)函数在f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明如下:设x
1
,x
2
∈(-1,+∞),且x
1
<x
2
,
∵a>1,
∴
a
x
1
-
a
x
2
<0,x
1
-x
2
<0,x
1
+1>0,x
2
+1>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)=(
a
x
1
+
x
1
-2
x
1
+1
)-(
a
x
2
+
x
2
-2
x
2
+1
)=(
a
x
1
-
a
x
2
)+[
(x
1
-2)(
x
2
+1)
(x
1
+1)(
x
2
+1)
-
(x
2
-2)(
x
1
+1)
(x
1
+1)(
x
2
+1)
]=(
a
x
1
-
a
x
2
)+
3
(x
1
-
x
2
)
(x
1
+1)(
x
2
+1)
<0,
f(x
1
)<f(x
2
)
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明:(2)假设f(x)=0 有负根 x
0
,且 x
0
≠-1,即 f(x
0
)=0.
根据f(0)=1+
0-2
0+1
=-1,可得 f(x
0
)>f(0)①.
若-1<x
0
<0,由函数f(x)=a
x
+
x-2
x+1
在(-1,+∞)是增函数,可得f(x
0
)<f(0)=-1,这与①矛盾.
若x
0
<-1,则 ax0>0,x
0
-2<0,x
0
+1<0,∴f(x
0
)>0,这也与①矛盾.
故假设不正确.
∴方程 a
x
+
x-2
x+1
=0 没有负根.
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