若椭圆上的一点P及两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则此椭圆的长轴长的最小值?

题目

若椭圆上的一点P及两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则此椭圆的长轴长的最小值?

答案

首先,最大面积在短轴端点上取到,即S_max=bc=1.
于是问题转化成在bc=1,b>0,c>0的情况下极小化a=(b^2+c^2)^0.5.
由基本不等式a>=(2bc)^0.5=2^0.5,当b=c=1时取道等号.
所以长轴长度的最小值是根号2.