求 [根号(1+tanx）-根号（1+sinx)]/[xln(1+x)-x平方]极限 x趋向0

题目

求 [根号(1+tanx）-根号（1+sinx)]/[xln(1+x)-x平方]极限 x趋向0

答案

lim(x→0) [√(1+tanx) - √(1+sinx)] / [x*ln(1+x)-x^2]
=lim(x→0) [tanx-sinx] / [x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim(x→0) [tanx-sinx] / 2[x*ln(1+x)-x^2] 【洛必达法则】
=lim(x→0) [sec^2x-cosx] / 2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]
=lim(x→0) [(1-cos^3(x)) / cos^2(x)]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]
=lim(x→0) (1-cos^3(x)) / 2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] 【洛必达法则】
=lim(x→0) [3cos^2(x)*sinx] / 2[1/(1+x)^2+1/(1+x)-2]
=lim(x→0) 3x / 2[(-2x^2-3x)/(1+x)^2]
=lim(x→0) 3x / 2(-2x^2-3x)
=lim(x→0) 3x / (-4x^2-6x)
=lim(x→0) 3/(-4x -6)
= - 1/2