已知对任意的x>0恒有alnx≤b(x-1)成立,证明 ln(n!)>2n-4√n,(n∈N,n≥2)其中n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1
题目
已知对任意的x>0恒有alnx≤b(x-1)成立,证明 ln(n!)>2n-4√n,(n∈N,n≥2)其中n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1
答案
设f(x)=alnx-b(x-1)
易得f(1)=0
要他恒成立
f'(x)=(a-bx)/x
因为x>0 只需考虑a-bx
即x=1时
a-b≤0
即b≤a
不妨取a=b=1
即lnx≤(x-1)
设g(x)=m√x+n,(m,n∈R),且lnx≤g(x)≤b(x-1)对∀x>0恒成立
当x=1
则0≤g(0)≤0
则m+n=0
∴m√x-m≤x-1
则((√x)^2-1)+(m-m√x)≥0
即(√x-1)((√x+1)+m(1-√x)≥0
即(√x-1)(√x+1-m)≥0恒成立
即∴须1-m=-1,即m=2
即g(x)=2√x-2时
lnx≤g(x)
即
ln(1/k)≤2/(√k) -2
即ln(1/k)≤4/(2√k) -2
即ln(1/k)≤4/(2√k) -2<4/(√k+√(k-1)) -2
分母有理化ln(1/k)≤4/(2√k) -2<4/(√k+√(k-1)) -2=4(√k-√(k-1))-2
所以ln(1/n!)<4(√n-√(n-1)+√(n-1)-√n-2```````√1-√0)-2n=4√n-2n
即ln(1/n!)<2n-4√n
- ln(n!)<2n-4√n
即n(n!)>2n-4√n
证毕
求加分```````````````````
打了很久啊````````````````````````
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 徙木为信,一字千金,一诺千金的主人公各是谁
- 口技的“善”在哪里,怎样写“善”?请你用“善在______,它写出了______”说一句话
- 一支温度计刻度均匀,但读数不准,在一个标准大气压下,将它放入沸水中,示数为95℃;放在冰水混合物中,示数为5℃.现把该温度计悬挂在教室墙上,其示数为32℃,教室内的实际气温是
- 试将中世纪欧洲城市与中国古代城市进行比较,并阐述中世纪欧洲的结构特征
- 计算(lg2)²+lg2·lg5+lg50+log(27) 9 以27为底
- 有没有语病are you understand
- 已知一定点A,动点B是圆F:(X‐2)2+y2=64上一点,线段AB垂直平分线交BF于P,(1)求动点p的轨迹C方程
- sinx·cosx+cosx·cosx 等于多少?
- 一块长方形草地,长方形长18米,宽10米,中间铺了1条平行四边形石子路.如果铺1平方米
- 墙推倒了就是桥600字的作文