已知a是正整数,a^2+2012a是一个正整数的平方,求a的值

题目

已知a是正整数,a^2+2012a是一个正整数的平方,求a的值

答案

设：a^2+2012a=x^2
a^2+2012a+1006^2=x^2+1006^2
a^2+2012a+1006^2-x^2=1006^2
(a+1006)^2-x^2=1006^2
(a+1006-x)(a+1006+x)=1006^2=2^2*503^2
(a+1006-x)与(a+1006+x)同为奇数或偶数,所以
a+1006-x=2,a+1006+x=2*503^2 （1）
a+1006-x=2*503,a+1006+x=2*503 （2）
a+1006-x=2*503^2,a+1006+x=2 （3）
（1）解得 a=503*501+1
(2) 解得 a=0
(3) 解得 a=503*501+1
所以a的值为501*503+1=252004