∮τ (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,τ为椭圆x^2+y^2=a^2,x/a+y/b=1,若从x轴的正方向去看,这圆周是取逆时针方向

题目

∮τ (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,τ为椭圆x^2+y^2=a^2,x/a+y/b=1,若从x轴的正方向去看,这圆周是取逆时针方向
应用斯托克斯公式后得-2∫∫(∑)dydz+dxdz+dxdy,接下来如何进行?

答案

接下来,看积分区域在OXY、OXZ和OYZ平面的投影区域,不好打字,分别用∑xy,∑yz,∑zx表示
∫∫(∑)dydz+dxdz+dxdy
=∫∫(∑xy)dxdy+∫∫(∑yz)dydz+∫∫(∑zx)dxdz
但是,积分区域实际上在OXY,所以
∫∫(∑)dydz+dxdz+dxdy=∫∫(∑xy)dxdy=D形积分区域的面积.