使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_．

题目

使不等式sin²x+acosx+a²≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．

答案

1-cos²x+acosx+a²≥1+cosx⇒cos²x+（1-a）cosx-a²≤0，
令t=cosx，
∵x∈R，
∴t∈[-1，1]，
t²+（1-a）t-a²≤0，
∴

1+1−a−a2≤0 1−1+a−a2≤0 a＜0

⇒

a2+a−2≥0 a2−a≥0 a＜0

⇒

a≤−2或a≥1 a≤0或a≥1 a＜0

⇒a≤−2．
故答案为a≤-2．

利用公式1=cos²x+sin²x，进行代换，可得cos²x+（1-a）cosx-a²≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．

本题考点：其他不等式的解法．

考点点评：此题考查函数的恒成立问题，是一道中档题，利用不等式的性质进行求解．