△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结
题目
△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a
2+b
2=c
2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a
2+b
2与c
2的关系,并证明你的结论.
答案
若△ABC是锐角三角形,则有a
2+b
2>c
2(1分)
若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a
2+b
2<c
2.(2分)
当△ABC是锐角三角形时,
证明:过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a-x(3分)
根据勾股定理,得b
2-x
2=AD
2=c
2-(a-x)
2即b
2-x
2=c
2-a
2+2ax-x
2.
∴a
2+b
2=c
2+2ax(5分)
∵a>0,x>0,
∴2ax>0.
∴a
2+b
2>c
2.(6分)
当△ABC是钝角三角形时,
证明:过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.
设CD为y,则有BD
2=a
2-y
2(7分)
根据勾股定理,得(b+y)
2+a
2-y
2=c
2.
即a
2+b
2+2by=c
2.(9分)
∵b>0,y>0,
∴2by>0,
∴a
2+b
2<c
2.(10分)
举一反三
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