已知椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y的平方=-4x的焦点重合,M是椭圆与抛物线的一个交点,且F1M的绝对值=3√2-3,求椭圆方程

题目

已知椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y的平方=-4x的焦点重合,M是椭圆与抛物线的一个交点,且F1M的绝对值=3√2-3,求椭圆方程

答案

已知椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y的平方=-4x的焦点重合,M是椭圆与抛物线的一个交点,且F1M的绝对值=3√2-3,求椭圆方程
解析：设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
∵其左焦点F1与抛物线y的平方=-4x的焦点重合
∴F1(-1,0)
∵M是椭圆与抛物线的一个交点,|F1M|=3√2-3
设M(x0,y0)
(x0+1)^2+y0^2=(3√2-3)^2==>(x0-1)^2=(3√2-3)^2
∴x0-1=3√2-3==>x0=3√2-2(舍),x0=4-3√2
∵a^2-b^2=1==>a^2=b^2+1
代入椭圆得x^2/(b^2+1)-4x/b^2=1==>b^2x^2-4b^2x-4x=b^2(b^2+1)
==>b^4-(x^2-4x-1)b^2+4x=0
∴b^2={(x^2-4x-1)-√[(x^2-4x-1)^2-16x]}/2（舍）b^2={(x^2-4x-1)+√[(x^2-4x-1)^2-16x]}/2
将x0代入得b^2=1
∴椭圆方程为x^2/2+y^2=1