在等差数列{an}中，a1=1，数列{bn}满足bn＝(1/2)an，且b1b2b3＝1/64 （1）求{an}的通项公式； （2）求证：a1b1+a2b2+…+anbn＜2．

题目

在等差数列{a_n}中，a₁=1，数列{b_n}满足b

答案

（1）设{a_n}的公差为d，a1＝1，b1＝

1

2

，b2＝(

1

2

)1+d，b3＝(

1

2

)1+2d
又b1b2b3＝

1

64

，解得：d=1
∴a_n=1+（n-1）•1=n
（2）由（1）得bn＝(

1

2

)n
设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n

1

2

Tn＝1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n−1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
作差整理得：Tn＝2−

1

2n−1

−

n

2n

＝2−

n+2

2n

∴T_n＜2