已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P

题目

已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P
若三叫形F1PF2为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为

答案

当焦点在x轴上时
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1
由题意可知P（c,2c) (a²-b²=c²)
将P点坐标代入椭圆方程并化简得
a^4+c^4-6a²c²=0
两边同时除以a^4得
1+e^4-6e²=0解得
e=√2+1 或 e=√2-1
由于e=c/a < 1
所以e=√2-1
容易验证,当焦点在y轴上时,e同样适用
所以该椭圆离心率e=√2-1