若存在实数x使3x+6+14−x>a成立，求常数a的取值范围 _ ．

题目

若存在实数x使

3x+6

+

14−x

>a成立，求常数a的取值范围 ___ ．

答案

由题意，由柯西不等式得（

3x+6

+

14-x

）²=（

3

×

x+2

+

14-x

）²≤（3+1）（x+2+14-x）=64，
∴

3x+6

+

14-x

≤8，当且仅当x=10时取“=”，
∵存在实数x使

3x+6

+

14-x

>a成立
∴a<8
∴常数a的取值范围是（-∞，8）．
故答案为：（-∞，8）．

利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．

本题考点：二维形式的柯西不等式；基本不等式．

考点点评：本题主要考查运用柯西不等式求最值，解题的关键是变形，利用柯西不等式解题．