已知F1F2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 角F1PF2=60

题目

已知F1F2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 角F1PF2=60
1 求椭圆离心率的范围
2求证三角形F1pF2的面积只与椭圆的短轴长有关

答案

1）
PF1^2+PF2^2-2PF1PF2cos60=F1F2^2
PF1^2+PF2^2-PF1PF2=4c^2
(PF1+PF2)^2-3PF1PF2=4c^2
PF1PF2=(4a^2-4c^2)/3
而：PF1PF2≤[(PF1+PF2)/2]^2=a^2
所以,4a^2-4c^2≤a^2
3a^2≤4c^2
e^2=c^2/a^2≥3/4
e≥√3/2
所以,椭圆离心率的范围：√3/2≤e