某同学用一下方法绘制小车的v-t图像,先把纸带每隔0.1s剪断,得到若干短纸条.再把这些纸条并排贴在一张纸上,使这些纸条下端对齐,作为时间坐标轴,标出时间,最后将纸条上端中心连起来,于是得到v-t图像

题目

某同学用一下方法绘制小车的v-t图像,先把纸带每隔0.1s剪断,得到若干短纸条.再把这些纸条并排贴在一张纸上,使这些纸条下端对齐,作为时间坐标轴,标出时间,最后将纸条上端中心连起来,于是得到v-t图像.这样做有道理吗?为什么?

答案

首先告诉你,这样做是有道理的.但是,这种方法画出的V-T图,与按照标准方法绘制的V-T图有一定的差异,它只能定性地（或者说近似地）描述研究对象的运动情况.要定量分析,还需要加一些限制条件,并且要对画好的V-T图进行一定的转换.下面详细解释.（为了便于辨认,分析中用到的变量均采用大写字母,各种参数采用小写.）
先作一些定义：
1、将纸带上的第一个有效点相应的时刻定为0时刻,记作To,将后面的各个点相应时刻依次为T1、T2、…、Tn、….这些时刻间的间隔应当是固定的（也就是打点机的打点周期）,将此时间间隔定义为：ΔT,所以有：
T(i+1) – T(i) = ΔT (公式1)
2、V-T图是一条连续的曲线,在此处根据实验要求,只绘制V-T图中的某些点.设纸带上各点对应的小车的速度为Vo、V1、V2、…、Vn、….为了使本题更具有一般性,我们假设0时刻的速度,即小车的初速度Vo,不为零.我们以小车速度方向为正方向,则小车的初速度和加速度都为正数.
“某同学”的目的是根据上面的数据画出小车的V-T图.若采用通常所用的标准方法,相信你是知道怎么做的.设标准方法作出的图为“标准图”,那么,理想情况下,“标准图”的图像是一条起点在纵轴（V轴）正半轴、方向斜向上的射线.设“某同学”用“新方法”作出的图为“新图”,那我们要做的就是看“新图”与“标准图”的图像究竟有何异同.
（一）“标准图”：
我们知道理想情况下的V-T1图像,该图像相应的函数为：V(t) = Vo + AT ,在此,我们只需讨论这条射线上的某些点即可.这些点就是自变量T在To、T1、T2、…、Tn时刻对应的点,它们的值分别是Vo、V1、V2、…、Vn.我们需要假设该“标准图”已经画出,那么Vo、V1、V2、…、Vn就是已知量了.
我们将小车在Ti时刻的速度标记为：V(i),于是有：
V(i) = Vo + AT(i) (公式2)
我们可以看出,“标准图”的图像就是由公式(2)确定的.
小车的位移公式也是已知的：S(t) = V0T + 1/2AT^2,我们将小车在Ti时刻的位移标记为：S(i),于是有：
S(i) = VoT(i) + 1/2AT(i)^2 (公式3)
（二）“新图”：
根据“某同学”的“新方法”,我们可以这样分析：他绘图所用的横轴（T轴）与“标准图”的T轴没有本质上的区别.“标准图”的零时刻对应纸带上的第一点,后面的时刻依次对应了相应的点,这些时刻的时间间隔是相同的.“某同学”所选的零时刻与他在纸带上选的第一段纸条相对应,也就是第0秒到0.1秒小车前进的距离.下一个时刻为0.1秒到0.2秒小车前进的距离……他将所选择的时刻依次标记为：0、0.1、0.2、…
你题目中没有明确指出他是怎么标记的,但这种方法是最简单的一种.另外,所谓“每隔0.1S”只是为了减少误差,这个时间间隔可以是任意的.因为我们只是进行理论分析,可以不考虑误差影响,所以,下面的分析中不再出现“0,、0.1、0.2、…”,而用To、T1、T2、…、Tn来代替.这只不过是将时间间隔统一设为ΔT,这样可以简化问题.
至于“新图”的V轴,“新方法”中是根据纸条长度确定的,而这个纸条长度就是相同时间间隔内小车走过的距离.
我们将小车从Ti到Ti+1时间段内走过的距离定义为ΔS(i),于是有
ΔS(i) = S(i+1) – S(i)
= [VoT(i+1) + 1/2AT(i+1)^2] – [VoT(i) + 1/2AT(i)^2]
= Vo[T(i+1) – T(i)] + 1/2A[T(i+1) – T(i)][ T(i+1) + T(i)]
= VoΔT +1/2A[T(i+1) + T(i)] ΔT
= ΔT [ Vo + 1/2A ( Ti + ΔT + Ti )]
= ΔT [ Vo + A (Ti + ΔT/2)]
注：Ti与T(i)含义相同.整理之后,得到新公式如下：
ΔS(i) =ΔT [ Vo + AΔT/2 ] + ΔTAT(i) (公式4)
公式(4)给出了“某一时间段内的纸条长度”与“相应时间段起点时刻”的关系,而“新图”的图像就是由公式(4)确定的.下面就可以通过对公式(1)和公式(4)的比较分析,看一下“标准图”与“新图”有何异同之处：
V(i) = Vo + AT(i) (公式2)
ΔS(i) =ΔT [ Vo + AΔT/2 ] + ΔTAT(i) (公式4)
1、公式(4)中,ΔT、Vo、A均为固定值,因此,ΔS(i)就是Ti的一次函数,定义域由T(i)决定,所以函数图像（即“新图”）是一条射线.这一点与“标准图”相同.
2、i取0时,即零时刻时,ΔS(0) = ΔT [ Vo + AΔT/2 ].在“标准图”中,To时刻,纵坐标的取值为Vo,与此数值不同.但仔细分析即可看出,“新图”中的ΔS(0)所取的值,就是“标准图”中在T = ΔT/2时刻的函数值 V(ΔT/2),与 ΔT 的乘积,即：
V(0) = Vo
ΔS(0) = V(ΔT/2) × ΔT
3、图像斜率：K2 = ΔTA.很明显,“新图”中的斜率为“标准图”斜率与ΔT 的乘积,即：
K1 = A
K2 = K1 × ΔT
从第2、3条中可以看出,当ΔT取值为1时,“标准图”与“新图”的图像是非常接近的：
V(0) = Vo
ΔS(0) = V(1/2) = Vo + A/2
K1 = K2 = A
它们具有相同的斜率；而后者只比前者高一点.当然,出现这种关系,和“标准图”与“新图”两图采用了相同的横坐标轴（T轴）有关,也就是和零时刻与时间间隔的确定有关.我们首先选用了相同的零时刻和时间间隔进行分析；而在上面的例子中,又将时间间隔设为1,进行了分析.
而且可以看出,只有ΔT = 1时,“新图”与“标准图”才会有相同的斜率,而这正是“新图”的意义所在,因为,如果斜率不同,就无法正确反映小车的加速度了.此处所说的ΔT = 1,指的是“新方法”中所选择的时间间隔ΔT,一定要等于“标准图”中T轴上的单位1.也就是说：“标准图”T轴单位是“秒”,则ΔT = 1秒；“标准图”T轴单位是“毫秒”,则ΔT = 1毫秒…本题中的“新方法”取ΔT = 0.1秒,这意味着“标准图”中T轴的单位也应该为0.1秒,这样才能使两图斜率相同.“新方法”中使用的ΔT由“标准方法”中的T轴单位1决定,这一点是使用“新方法”最需要注意的地方.
如果零时刻与时间间隔选择不当,得到的“标准图”与“新图”的图像将有很大差别.但有一点是不会错的.就是两个图像都是“起点在纵轴（V轴）正半轴、斜向上”的射线.除非你在“标准图”的绘制中,将初速度设为0,这时的“标准图”图像的起点为原点.但“新图”图像的起点是一定会在V轴正半轴的,因为“长度为零”的纸带是剪不出来的.
当然,这个问题也可以简单的进行定性分析：在匀加速直线运动中,速度是时间的一元一次函数（自变量只有T）,那么V-T图一定是一条直线.而位移是时间的一元二次函数（自变量有T^2）,那么位移之差就应当是个二元二次函数（自变量有T(i)^2、T(j)^2）.但在此题中,i和j只取相邻数值,即j = i + 1,另外,T(i)、T(i+1)还具有一个关系式：T(i+1) = T(i) +ΔT,而ΔT是一个常量,所以位移之差就成了T(i)的一元函数.同时,减法运算“[T(i) +ΔT]^2 - T(i)^2”又将二次项T(i)^2消掉了,那本题中的位移之差实际上是T(i)的一元一次函数,其图像当然也是一条直线.