6.试用特征根方程法,求满足下列递推式的数列a(n).

题目

6.试用特征根方程法,求满足下列递推式的数列a(n).
(1) a(n+2)=a(n+1)+2a(n) ,a(0)=1,a(1)=0;
(2) a(n+2)=3a(n+1)-2a(n),a(0)=0,a(1)=1
(3) a(n+3)-2a(n+2)-a(n+1)+2a(n)=0,a(0)=0,a(1)=0,a(2)=6
(1) a(n)=[(2^n)+2*(-1)^n]/3
(2) a(n)=(2^n)-1
(3) a(n)=2^(n+1)-3+(-1)^n
请写出详细过程及思路.

答案

(1):a(n+2)=a(n+1)+2a(n)的特征方程为:x^2=x+2,x=-1,2;
可以设通项为:a(n)=c1*(-1)^n+c2*2^n,a(0)=1,a(1)=0,
c1+c2=1,
-c1+2c2=0解得：
c1=2/3,c2=1/3,
a(n)=[(2^n)+2*(-1)^n]/3
(2):特征根为1,2,方法同上．
(3):特征方程为x^3-2x^2-x+2=0,(x-1)(x-2)(x+1)=0,特征根为1,2,-1
设通解为：a(n)=c1*1^n+c2*(-1)^n+c3*2^n=c1+c2*(-1)^n+c3*2^n
a(0)=0,a(1)=0,a(2)=6带入解得c1,c2,c3即得．
一般特征根方程法求通项,先写出它的特征方程,求出特征根（x1,x2,x3...,xm）,然后设通项为：a(n)=c1*x1^n+c2*x2^n+...+cm*xm^n
,根据前m项解方程组,求出c1,c2,...,cm．