已知x1、x2……xn是实数,x1+x2+……+xn=0,求证不等式x1x2+x2x3+x3x4+……+xn-1x1≤0在n=3,4时成立；n≥5时不成立

题目

已知x1、x2……xn是实数,x1+x2+……+xn=0,求证不等式x1x2+x2x3+x3x4+……+xn-1x1≤0在n=3,4时成立；n≥5时不成立

答案

当 x = 3 时,
0=(x1+x2+x3)^2 =>x1x2 +x2x3+x3x1 =-1/2 * (x1^2+x2^2+x3^2) x1x2 +x2x3+x3x4+x4x1
=-1/2 * ((x1+x3)^2+(x2+x4)^2) =5时,可取 x1 = x2 = 1,x4=-2,其他xi = 0,则不等式不成立.