给定函数f(x)=x33-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+a2x (Ⅰ)求证:f(x)总有两个极值点; (Ⅱ)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.

给定函数f(x)=x33-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+a2x (Ⅰ)求证:f(x)总有两个极值点; (Ⅱ)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.

题目
给定函数f(x)=
x3
3
-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+
a2
x

(Ⅰ)求证:f(x)总有两个极值点;
(Ⅱ)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.
答案
证明:(I)因为f'(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a+1)][x-(a-1)],
令f'(x)=0,则x1=a+1,x2=a-1,------------------------------------------(2分)
则当x<a-1时,f'(x)>0,当a-1<x<a+1,f'(x)<0
所以x=a-1为f(x)的一个极大值点,-----------------------(4分)
同理可证x=a+1为f(x)的一个极小值点.-------------------------------------(5分)
另(I)因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)是一个二次函数,
且△=(-2a)2-4(a2-1)=4>0,-------------------------------------(2分)
所以导函数有两个不同的零点,
又因为导函数是一个二次函数,
所以函数f(x)有两个不同的极值点.---------------------------------------(5分)
(II) 因为g′(x)=1−
a2
x2
(x−a)(x+a)
x2

令g'(x)=0,则x1=a,x2=-a---------------------------------------(6分)
因为f(x)和g(x)有相同的极值点,且x1=a和a+1,a-1不可能相等,
所以当-a=a+1时,a=−
1
2
,当-a=a-1时,a=
1
2

经检验,a=−
1
2
a=
1
2
时,x1=a,x2=-a都是g(x)的极值点.--------------(8分)
(I)题目中欲证:“在R上有两个极值点”,利用导数的意义.即导函数有两个零点.从而转化为二次函数f′(x)=0的根的问题,利用根的判别式大于零解决即可.
(II)对函数 g(x)求导可得g′(x)=1−
a2
x2
(x−a)(x+a)
x2
由g'(x)=0,可得得x=a或-a,结合(I)中结论,从而可得a.

利用导数研究函数的极值.

本题主要考查函数的导数、极值等基础知识,三次函数的单调性可借助于导函数(二次函数)来分析,解得本题不但要熟练掌握函数的导数的相关的知识,还要具备一定的逻辑推理的能力,此题对考生的能力要求较高.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.