设F1F2分别是椭圆x^2/4+y^2=1的左右焦点,过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A,B,OA垂直于OB时,求AB

题目

设F1F2分别是椭圆x^2/4+y^2=1的左右焦点,过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A,B,OA垂直于OB时,求AB

答案

设A(x1,y1),B(x2,y2)
c^2=a^2-b^2=4-1=3
c=3^1/2
F1(-3^1/2,0)
直线l:y=k(x+3^1/2)
x^2+4y^2=4
x^2+4k^2(x+3^1/2)^2=4
(1+4k^2)x^2+8x3^1/2k^2x+(12k^2-4)=0
x1+x2=-8x3^1/2k^2/(1+4k^2)
x1x2=(12k^2-4)/(1+4k^2)
OA=（x1,y1),OB=(x2,y2)
OAxOB=x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+3^1/2)k(x2+3^1/2)=0
(1+k^2)x1x2+3^1/2k^2(x1+x2)+3k^2=0
(1+k^2)x(12k^2-4）/(1+4k^2)+3^1/2k^2(-8x3^1/2k^2)/(1+4k^2)+3k^2=0
11k^2=4
k^2=4/11
x1+x2=-32x3^1/2/27
x1x2=4/27
AB=(1+k^2)^1/2x/x1-x2/
=(1+4/11)^1/2x[(x1-x2)^2]^1/2
=(1+4/11)^1/2x[(x1+x2)^2-4x1x2]^1/2
=(15/11)^1/2x[(-32x3^1/2/27)^2-4x4/27)]^1/2
=(15/11)^1/2x[(32^2x3/27^2-16/27)]^1/2
=(15/11)^1/2x[2640/27^2]^1/2
=(15/11)^1/2x4/27x(15x11)^1/2
=4/27x15=60/27=20/9
解题人：黄熙栋 解题时间：2013年8月13日.