已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3

题目

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/3,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到L的距离为√2/2.
C上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有向量OP=向量OA+向量OB成立?若存在,求出所有点P的坐标与L的方程；若不存在,说明理由.

答案

F(c,0),于是直线L1（k=1时)：x-y-c=0
O到L1的距离：√2/2=c/√2,c=1
e=√3/3=c/a,a=√3,b=√2
∴椭圆为：x^2/3+y^2/2=1
把坐标平面看做复平面：向量OA、OB、OP对应复数Z1、Z2、Z3；对应点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x3,y3)
于是：向量OP=向量OA+向量OB等价于Z3=Z1+Z2等价于x3=x1+x2,y3=y1+y2
设直线L为：x=ty+1(当然也可以设为y=k(x-1))代入椭圆方程有：
(2t^2+3)y^2+4ty-4=0,
y3=y1+y2=-4t/(2t^2+3)
x3=x1+x2=t(y1+y2)+2=2-4t^2/(2t^2+3)=6/(2t^2+3)
P在椭圆上代入解得：t=±√42/2
∴L为:2x±√42y-2=0.